Fx - विकल्प - द्विपद पेड़

मुद्रा लुकबैक विकल्पों के लिए एक संशोधित द्विपद वृक्ष विधि इस आलेख को इस प्रकार बताएं: दाई, एम। एक्टा मैथ सीनिका (2000) 16: 445. डोआई: 10.1007 एस 1010100006868 द्विपदीय वृक्ष विधि मूल्य निर्धारण विकल्पों के लिए सबसे लोकप्रिय संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, मुद्रा लुकबैक विकल्पों के लिए, यह पद्धति इसी सतत मॉडल के अनुरूप नहीं है, जिससे अभिसरण की गति धीमी हो जाती है। पीडीई दृष्टिकोण के आधार पर, हम एक संगत संख्यात्मक योजना विकसित करते हैं जिसे संशोधित द्विपद वृक्ष विधि कहा जाता है। इसमें सटीकता का एक क्रम है और इसकी कार्यक्षमता संख्यात्मक प्रयोगों द्वारा प्रदर्शित की जाती है। अभिसरण साक्ष्य संख्यात्मक विश्लेषण और चिपचिपाहट समाधान की धारणा के संदर्भ में भी तैयार किए जाते हैं। संशोधित द्विपद पेड़ पद्धति मुद्रा लुकबैक विकल्प कनवर्जेन्स 1991 एमआर विषय वर्गीकरण 90 ए 0 9 35 के 85 35R35 चीन के राष्ट्रीय विज्ञान फाउंडेशन (सं। 19871062) द्वारा समर्थित मूल्य के द्विवार्षिक मॉडल को तोड़कर एक विकल्प वित्तीय दुनिया में, ब्लैक स्कोल्स और द्विपद विकल्प मॉडल आधुनिक वित्तीय सिद्धांत में मूल्यांकन के सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से दो हैं दोनों एक विकल्प के मूल्य के लिए उपयोग किया जाता है और प्रत्येक के पास अपने फायदे और नुकसान हैं। द्विपदीय मॉडल का उपयोग करने के कुछ बुनियादी लाभ हैं: संभाव्यता को शामिल करने के लिए बहु-अवधि दृश्य पारदर्शिता की क्षमता इस आलेख में, ब्लैक-स्कोल्स के बजाय द्विपद मॉडल का उपयोग करने के फायदों का पता लगाएं, मॉडल विकसित करने के लिए कुछ बुनियादी कदम प्रदान करें और समझाएं कि इसका उपयोग कैसे किया जाता है। एकाधिक-अवधि देखें द्विपदीय मॉडल अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य के साथ ही विकल्प की कीमत के बहु-अवधि के दृश्य को सक्षम करता है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के विपरीत, जो इनपुट के आधार पर एक संख्यात्मक परिणाम प्रदान करता है, द्विपक्षीय मॉडल संपत्ति की गणना और प्रत्येक अवधि (नीचे देखें) के संभावित परिणामों की सीमा के साथ कई अवधि के लिए विकल्प की अनुमति देता है। इस बहु-अवधि के दृश्य का लाभ यह है कि उपयोगकर्ता समय-समय पर परिसंपत्ति मूल्य में परिवर्तन की कल्पना कर सकता है और समय पर विभिन्न बिंदुओं पर निर्णय लेने के आधार पर विकल्प का मूल्यांकन कर सकता है। एक अमेरिकी विकल्प के लिए जो समाप्ति तिथि से पहले किसी भी समय प्रयोग किया जा सकता है। द्विपक्षीय मॉडल इस बात का अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है कि जब विकल्प का प्रयोग आकर्षक लग सकता है और यह लंबे समय के लिए कब आयोजित किया जाना चाहिए। मूल्यों के द्विपद पेड़ को देखते हुए, कोई भी पहले से निर्धारित कर सकता है जब व्यायाम पर निर्णय हो सकता है। यदि विकल्प का सकारात्मक मूल्य होता है, तो व्यायाम की संभावना होती है, लेकिन अगर इसकी शून्य से कम मूल्य है, तो उसे लंबी अवधि के लिए रखा जाना चाहिए। बहु-अवधि की समीक्षा से संबंधित पारदर्शिता, संपत्ति के अंतर्निहित मूल्य में पारदर्शिता प्रदान करने के लिए द्विपक्षीय मॉडल की क्षमता और समय के माध्यम से प्रगति के विकल्प के रूप में है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में पांच इनपुट हैं: जब ये डेटा अंक ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में दर्ज किए जाते हैं, तो मॉडल विकल्प के लिए एक मूल्य की गणना करता है, लेकिन इन कारकों के प्रभावों को अवधि-टू-अवधि के आधार पर नहीं बताया जाता है द्विपदीय मॉडल के साथ, एक अवधि से अवधि के आधार पर अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य में परिवर्तन और विकल्प मूल्य में होने वाले इसके अनुरूप परिवर्तन देख सकते हैं। सम्मिलित संभावनाओं को द्विपदीय विकल्प मॉडल की गणना करने की मूल विधि, प्रत्येक समाप्ति की संभावना का उपयोग करने के लिए सफलता और असफलता की अवधि समाप्त होने तक है। हालांकि, समय-समय पर प्राप्त की गई नई जानकारी के आधार पर प्रत्येक अवधि के लिए वास्तव में विभिन्न संभावनाओं को शामिल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक 5050 मौका हो सकता है कि अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य एक अवधि में 30 से बढ़ा या घटा सकता है। दूसरी अवधि के लिए, हालांकि, अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य में वृद्धि की संभावना 7030 तक बढ़ सकती है। चलो कहना है कि हम एक तेल का मूल्यांकन कर रहे हैं, हमें यकीन नहीं है कि तेल का मूल्य क्या है, लेकिन एक 5050 मौका है कीमत बढ़ जाएगी अगर तेल की कीमत 1 की अवधि में बढ़ी है, तो तेल को और अधिक मूल्यवान बनाकर बाजार की बुनियादी बातों में अब तेल की कीमतों में लगातार वृद्धि को इंगित किया जाता है, कीमत में और अधिक सराहना की संभावना अभी 70 हो सकती है। द्विपद मॉडल इस लचीलेपन को ब्लैक - स्चोल्स मॉडल नहीं करता है मॉडल का विकास सरल द्विपदीय मॉडल के दो उम्मीद रिटर्न होंगे। जिनकी संभावनाएं 100 तक बढ़ जाती हैं। हमारे उदाहरण में, हर समय समय पर तेल के लिए दो संभावित परिणाम होते हैं। एक अधिक जटिल संस्करण में तीन या अधिक अलग-अलग परिणाम हो सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक को घटना की संभावना है। शून्य के समय (अब) से शुरू होने वाले प्रतिफल की गणना करने के लिए, हमें अब से अंतर्निहित परिसंपत्ति एक अवधि के मूल्य का निर्धारण करना चाहिए। इस उदाहरण में, हम निम्नलिखित मानेंगे: अंतर्निहित संपत्ति (पी) की कीमत 500 कॉल विकल्प व्यायाम मूल्य (कश्मीर) 600 अवधि के लिए जोखिम मुक्त दर: 1 मूल्य प्रत्येक अवधि में परिवर्तन: 30 ऊपर या नीचे अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत 500 है, और अवधि 1 में, यह या तो 650 या 350 के बराबर हो सकता है। यह 30 के बराबर होगा एक अवधि में वृद्धि या कमी। चूंकि अंतर्निहित परिसंपत्ति 600 से कम होकर समाप्त होती है, कॉल विकल्प के अभ्यास मूल्य का मूल्य 600 है, कॉल ऑप्शन का मान शून्य होगा। दूसरी ओर, अगर अंतर्निहित परिसंपत्ति 600 के व्यायाम मूल्य से अधिक है, तो कॉल विकल्प का मान अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत और व्यायाम मूल्य के बीच का अंतर होगा। इस गणना के लिए सूत्र अधिकतम (पी-कश्मीर), 0 है। मान लें कि ऊपर उठने का 50 मौका है और नीचे जाने का 50 मौका है। एक उदाहरण के रूप में अवधि 1 मानों का उपयोग करते हुए, यह अधिकतम (650-600, 0) 50 मीटर (350-600,0) 505050050 25 के रूप में गणना करता है। कॉल विकल्प के वर्तमान मूल्य को प्राप्त करने के लिए हमें अवधि 1 में 25 को छूट देना होगा वापस अवधि 0, जो कि 25 (11) 24.75 है। आप अब देख सकते हैं कि यदि संभावनाएं बदल जाती हैं, तो अंतर्निहित परिसंपत्ति का अनुमानित मूल्य भी बदल जाएगा। यदि संभावना बदलनी चाहिए, तो प्रत्येक बाद की अवधि के लिए इसे बदला जा सकता है और जरूरी नहीं है कि यह पूरे पूरे होना चाहिए। द्विपद मॉडल को कई अवधि तक आसानी से बढ़ाया जा सकता है। हालांकि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल एक विस्तारित समाप्ति तिथि के परिणाम की गणना कर सकता है। द्विपक्षीय मॉडल कई बिंदुओं के लिए निर्णय बिंदुओं को बढ़ाता है द्विवार्षिक मॉडल के लिए उपयोग एक विकल्प के मूल्य की गणना के लिए उपयोग किए जाने के अलावा, द्विपदीय मॉडल का उपयोग परियोजनाओं या उच्च स्तर की अनिश्चितता, पूंजी-बजट और संसाधन-आवंटन के फैसले के साथ-साथ कई चरणों के साथ-साथ परियोजनाओं के लिए भी किया जा सकता है या समय के कुछ बिंदुओं पर या तो जारी रखने या छोड़ने के लिए एक एम्बेडेड विकल्प। एक सरल उदाहरण एक ऐसा परियोजना है जो तेल के लिए ड्रिलिंग पर जोर देता है। इस प्रकार की परियोजना की अनिश्चितता की पारदर्शिता की कमी के कारण उठता है कि क्या जमीन की ड्रिलिंग में तेल का कोई भी तेल है, तेल की मात्रा, जिसे तेल मिल सकता है, अगर तेल पाया जाता है और जिस कीमत पर तेल एक बार बेचा जा सकता है निकाली गई। द्विपक्षीय विकल्प मॉडल तेल ड्रिलिंग परियोजना के प्रत्येक बिंदु पर निर्णय लेने में सहायता कर सकता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम ड्रिल करने का निर्णय लेते हैं, लेकिन तेल अच्छी तरह से लाभदायक होगा यदि हमें पर्याप्त तेल मिले और तेल की कीमत एक निश्चित राशि से अधिक हो। समय पर उस बिंदु पर हम कितना तेल निकाल सकते हैं और साथ ही साथ तेल की कीमत भी तय कर सकते हैं। पहली अवधि (एक वर्ष, उदाहरण के लिए) के बाद, हम इन दो आंकड़ों के आधार पर तय कर सकते हैं कि क्या परियोजना को ड्रिल करना या त्यागना जारी रखना है। इन फैसलों को लगातार बना दिया जा सकता है जब तक कोई बिंदु तक नहीं पहुंच जाता है, जहां ड्रिलिंग के लिए कोई मूल्य नहीं है, उस समय अच्छी तरह से छोड़ दिया जाएगा बॉटम लाइन दैनोमियल मॉडल, अंतर्निहित परिसंपत्ति मूल्य के बहु-अवधि के दृश्य और कई अवधि के लिए विकल्प की कीमत और साथ ही साथ प्रत्येक अवधि के संभावित परिणाम की सीमा को और अधिक विस्तृत दृश्य प्रदान करने की अनुमति देता है। जबकि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और द्विपदीय मॉडल का उपयोग मूल्य विकल्पों के लिए किया जा सकता है, द्विपद मॉडल में बस अनुप्रयोगों की एक व्यापक श्रेणी है, यह अधिक सहज है और इसका उपयोग करना आसान है। वित्त में, द्विपद विकल्प मॉडल एक सामान्य संख्यात्मक विधि प्रदान करता है विकल्पों के मूल्यांकन के लिए यह मॉडल अन्य विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल से भिन्न होता है, जिसमें वह वित्तीय साधनों के समय से भिन्न कीमत के एक ldquodiscrete-timerdquo मॉडल का उपयोग करता है, इस प्रकार मॉडल विभिन्न प्रकार की स्थितियों को नियंत्रित करने में सक्षम होता है जिसके लिए अन्य मॉडलों को लागू नहीं किया जा सकता। मूलतः, विकल्प का मूल्यांकन विकल्प के जीवन पर जोखिम तटस्थता धारणा के आवेदन के माध्यम से होता है, क्योंकि अंतर्निहित साधन की कीमत विकसित होती है। द्विवार्षिक मॉडल को कॉक्स, रॉस और रुबिनस्टीन (1 9 7 9) द्वारा पहले प्रस्तावित किया गया था। कार्यविधि द्विपदीय मूल्य निर्धारण मॉडल मूल्यांकन दिनांक और विकल्प समाप्ति के बीच दिए गए समय के लिए एक द्विपदीय जाली (पेड़) के माध्यम से विकल्प कुंजी अंतर्निहित चर के विकास का पता लगाने के लिए असतत-समय ढांचा का उपयोग करता है। जाली में प्रत्येक नोड, समय के किसी विशेष बिंदु पर अंतर्निहित के संभावित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। यह मूल्य विकास विकल्प मूल्यांकन के लिए आधार बनाता है। प्रत्येक अंतिम नोड से शुरू होने वाला मूल्यांकन प्रक्रिया पुनरावृत्त है, और फिर पेड के माध्यम से पिछली नोड (वैल्यूएशन डेट) के लिए काम करती है, जहां परिकलित परिणाम विकल्प का मूल्य होता है। इस पद्धति का उपयोग करते हुए विकल्प मूल्यांकन, एक तीन चरण प्रक्रिया है: 1) मूल्य वृक्ष पीढ़ी 2) प्रत्येक अंतिम नोड पर विकल्प मान की गणना 3) प्रत्येक पहले नोड पर विकल्प मान की प्रगतिशील गणना पहली नोड पर मान मान है विकल्प का पद्धति सबसे अच्छा उदाहरण के माध्यम से सचित्र है। 1) द्विपक्षीय मूल्य वृक्ष कीमतों का वृक्ष मूल्य निर्धारण की तिथि से समापन तक काम करके उत्पादित होता है। प्रत्येक चरण में, यह माना जाता है कि अंतर्निहित साधन एक विशेष कारक से ऊपर या नीचे बढ़ेगा - यू या डी - पेड़ के प्रत्येक चरण में। (द्विवार्षिक मॉडल केवल दो राज्यों की अनुमति देता है।) यदि एस मौजूदा कीमत है, तो अगली अवधि में कीमत एस या एस नीचे होगी, जहां एस एस एस यू यू और एस डाउन एस एक्स डी होगा। ऊपर और नीचे की कारक अंतर्निहित वाष्पशीलता, सिग्मा, और प्रति वर्ष के चरण का उपयोग करके गणना की जाती है, टी: यू ऍफ़ (सिग्मा रेडिक टी) डी एपीपी (- सिग्मा रेडिक टी) 1 यू ऊपर मूल कॉक्स, रॉस, amp रुबिनस्टाइन है (सीआरआर) पद्धति में जाली को पैदा करने के लिए अन्य तकनीकें हैं, जैसे कि समान संभावनाएं वृक्ष 2) प्रत्येक अंतिम नोड पर ऑप्शन वैल्यू पेड़ के प्रत्येक अंतिम नोड पर - अर्थात विकल्प की समाप्ति पर - विकल्प मान केवल इसकी आंतरिक, या व्यायाम, मूल्य है। कॉल के लिए: मूल्य अधिकतम (एस ndash व्यायाम की कीमत, 0) एक डाल के लिए: मान अधिकतम (व्यायाम मूल्य ndash S, 0) 3) पहले के नोड पर विकल्प मान प्रत्येक पहले नोड पर, विकल्प का मान जोखिम का उपयोग करके गणना की जाती है तटस्थता धारणा इस धारणा के तहत, आज एक व्युत्पन्न सुरक्षा का उचित मूल्य उसके भविष्य के भुगतान के छूट वाले मूल्य के बराबर है। जोखिम तटस्थ मूल्यांकन देखें। यहां अपेक्षित मूल्य की गणना उनके बाद के दो नोड्स (ऑप्शन अप और ऑप्शन डाउन) से ऑप्शंस वैल्यू का उपयोग करके की जाती है, जो उनके संबंधित संभाव्यताओं द्वारा भारित होती है - अंतर्निहित में एक अप चाल की संभावना पी, और डाउन लेवल की संभावना (1-पी) अपेक्षित मूल्य तो आर पर छूट दी जाती है। विकल्प के जीवन से संबंधित जोखिम मुक्त दर। इस परिणामस्वरूप, बिनोमियल वैल्यू, इस प्रकार व्युत्पत्ति के समय में किसी विशिष्ट समय (यानी प्रत्येक नोड पर) का उचित मूल्य है, उस बिंदु को अंतर्निहित की कीमत में विकास दिया गया है। प्रत्येक नोड के लिए बिनोमियल वैल्यू पाया जाता है, प्रारंभिक समय चरण से शुरू होता है, और पेड़ के पहले नोड पर वापस काम कर रहा है, मूल्यांकन की तारीख, जहां परिकलित परिणाम विकल्प का मूल्य है। एक अमेरिकन विकल्प के लिए, चूंकि विकल्प समाप्ति के पहले या तो आयोजित या प्रयोग किया जा सकता है, प्रत्येक नोड पर मान है: अधिकतम (द्विपदीय मूल्य, व्यायाम मूल्य)। बिनोमियल वैल्यू की गणना निम्नानुसार की जाती है। द्विपदीय वाल्यूप बार विकल्प अप (1-पी) बार विकल्प खाली समय (- आर टी टी) पेक्सप ((आर-क्यू) बार टी) - डी डिवाइड यू - डी क्यू विकल्प के जीवन के लिए अंतर्निहित अंतर्निहित लाभांश उपज है। ध्यान दें कि वैकल्पिक मूल्यांकन दृष्टिकोण, मध्यस्थता-मुक्त मूल्य (डेल्टा-हेजिंग), समान परिणाम पैदावार, रेंटल मूल्य निर्धारण को देखते हैं ब्लैक-स्कोल्स के साथ रिश्ते इसी तरह की धारणाएं दोनों द्विपदीय मॉडल और ब्लैक-स्कोल्स मॉडल को लगाती हैं, और द्विपद मॉडल इस प्रकार ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के तहत निरंतर प्रक्रिया को असतत समय सन्निकटन प्रदान करता है। वास्तव में, यूरोपीय विकल्पों के लिए, द्विपक्षीय मॉडल मान ब्लैक-स्कोल्स फार्मूला मान पर परिवर्तित होता है, जैसे कि समय के कदम बढ़ने की संख्या। बिनोमियल ऑप्शन प्रिसिशन मॉडल द्विपदीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल क्या है binomial विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल एक विकल्प मूल्यांकन पद्धति में विकसित किया गया है 1 9 7 9। द्विपक्षीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल एक चलने वाली प्रक्रिया का उपयोग करता है, जिससे नोड्स के विनिर्देशन की अनुमति होती है, या समय में अंक, मूल्यांकन की तारीख और विकल्प की समाप्ति तिथि के बीच के दौरान। मॉडल मूल्य में परिवर्तन की संभावना कम करता है, और मध्यस्थता की संभावना को हटाता है। एक द्विपद पेड़ का एक सरलीकृत उदाहरण इस तरह से कुछ दिखाई दे सकता है: द्विपदीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल नीचे द्विवार्षिक द्विपक्षीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल पूरी तरह से कुशल बाजार मानता है। इस धारणा के तहत, निर्दिष्ट समय सीमा में प्रत्येक बिंदु पर एक विकल्प के गणितीय मूल्यांकन प्रदान करने में सक्षम है। द्विपद मॉडल मूल्यांकन के लिए एक जोखिम-तटस्थ दृष्टिकोण लेता है और यह मानता है कि अंतर्निहित सुरक्षा कीमतें केवल या तो बढ़ा सकती हैं या समय के साथ घटा सकती हैं जब तक विकल्प बेकार नहीं समाप्त हो जाता है। द्विपदीय मूल्य निर्धारण उदाहरण द्विपद पेड़ का एक सरल उदाहरण केवल एक समय का चरण है। मान लें कि एक शेयर है जिसका मूल्य प्रति शेयर 100 है। एक महीने में, इस शेयर की कीमत 10 से बढ़ेगी या 10 से नीचे जा सकती है, इस स्थिति का निर्माण: स्टॉक प्राइस 100 स्टॉक मूल्य (अप स्टेट) 110 स्टॉक प्राइस (डाउ स्टेट) 90 अगला, मान लें कि कॉल विकल्प उपलब्ध है इस स्टॉक पर एक महीने में समाप्त हो जाता है और 100 का स्ट्राइक प्राइस होता है। ऊपर की स्थिति में, यह कॉल विकल्प 10 के लायक है, और नीचे की स्थिति में, यह 0 के बराबर है। द्विपद मॉडल, गणना कर सकता है कि कॉल की कीमत क्या है विकल्प आज होना चाहिए सरलीकरण उद्देश्यों के लिए, मान लें कि एक निवेशक शेयर का आधा हिस्सा खरीदता है और एक कॉल विकल्प लिखता है या बेचता है। कुल निवेश आज आधा शेयर की कीमत कम विकल्प की कीमत है, और महीने के अंत में संभावित आहरण हैं: लागत आज 50 - विकल्प मूल्य पोर्टफोलियो मान (अप स्टेट) 55 - अधिकतम (110 - 100, 0) 45 पोर्टफोलियो वैल्यू (डाउ स्टेट) 45 - मैक्स (9 0, 100, 0) 45 पोर्टफोलियो का भुगतान बराबर है, चाहे शेयर की कीमत कैसे बढ़ती है इस परिणाम को देखते हुए, कोई मध्यस्थता अवसर नहीं मानते हुए, निवेशक को महीने के दौरान जोखिम-मुक्त दर हासिल करनी चाहिए। आज लागत एक माह के लिए जोखिम मुक्त दर पर रियायती भुगतान के बराबर होनी चाहिए। हल करने का समीकरण इस प्रकार है: विकल्प मूल्य 50 - 45 xe (-आरआईसी-मुक्त दर x टी), जहां ई गणितीय निरंतर है 2.7183 जोखिम अनुमानित दर 3 साल प्रति वर्ष है, और टी 0.0833 बराबर (एक से 12 ), तो आज कॉल विकल्प की कीमत 5.11 है। इसकी सरल और पुनरावृत्ति संरचना के कारण, द्विपदीय विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल कुछ विशिष्ट फायदे प्रस्तुत करता है। उदाहरण के लिए, चूंकि यह समय अवधि में प्रत्येक नोड के लिए एक व्युत्पन्न के लिए वैल्यूएशन की एक धारा प्रदान करता है, यह अमेरिकी विकल्प जैसे डेरिवेटिव के मूल्यांकन के लिए उपयोगी है। यह अन्य मूल्य निर्धारण मॉडल जैसे कि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल की तुलना में बहुत आसान है